Stikprøver

Stikprøver

En stikprøve kan enten være med eller uden tilbagelægning. Hvis den er med tilbagelægning, kan det samme element udtages flere gange. Uden tilbagelægning kan et element kun udtrækkes én gang.

Stikprøver hvor rækkefølgen betyder noget kaldes ordnet stikprøveudtagelse, hvis man ikke lægger vægt på rækkefølgen, taler man om uordnet stikprøveudtagelse.

For løsning af et problem med udtagning af stikprøver må man finde ud af hvilken type stikprøve, der er tale om. Derefter benyttes en af formlerne. Det kan vises i flg. skema med 4 muligheder:

	Udtagelse uden tilbagelægning	Udtagelse med tilbagelægning
Ordnetudtagelse	1. Ordnet stikprøveudtagelse uden tilbagelægning Følger: "Både-og-princippet" P(n, r) = n! / (n - r)!	2. Ordnet stikprøveudtagelse med tilbagelægning Følger: "Både-og-princippet" nr
Uordnetudtagelse	3. Uordnet stikprøveudtagelse uden tilbagelægning K(n, r) = P(n, r) / r! = n! / ((n - r)! * r!)	4. Uordnet stikprøveudtagelse med tilbagelægning (n + p - 1)! / (n - 1)! * p!

Til at beregne antallet af forskellige stikprøver, der kan udtages af en mængde, benyttes nogle formler.

I formlerne er der to variable:

• n er antallet som en stikprøve udvælges fra;
• r er antallet, som udvælges i stikprøven.

Når der udvælges 3 bogstaver fra mængden (A,B,C,D,E) er n = 5 og r = 3.

• Ordnet stikprøve uden tilbagelægning betyder, at rækkefølgen har betydning
  • fx er ABC ikke det samme som BCA.
• Uordnet stikprøve uden tilbagelægning betyder, at rækkefølgen er ligegyldig
  • fx er ABC og BCA den samme prøve.
• Ordnet stikprøve med tilbagelægning betyder, at fx et bogstav må være med flere gange i en prøve
  • fx er ABA og AAB to forskellige prøver.
• Uordnet stikprøve med tilbagelægning betyder, at rækkefølgen er ligegyldig
  • fx er ABA og AAB den samme prøve.

Eksempler på

1. Hvis man ud af en mængde på 6 skal vælge 3 i ligegyldig rækkefølge og uden tilbagelægning, skrives det P(6, 3)

P(6, 3) = 6! / (6 - 3)! = 6! / 3! = 720 / 6 = 120

Dvs. stikprøven kan udtages på 120 måder

 2. Hvis man skal skrive et 3-cifret tal og kan vælge mellem tallene 1, 2, 3, 4, og 5 kan antallet af muligheder udregnes som

5³ = 5 * 5 * 5 = 125 muligheder

3. Hvis man ud af en mængde på 6 skal vælge 3, skrives det K(6, 3)

K(6, 3) = 6! / ((6 - 3)! * 3!) = 720 / ((3)! * 3!) = 720 / (6 * 6) = 720 / 36 = 20

Dvs. der er 20 forskellige muligheder for at udtrække 3 fra en mængde på 6

4. Hvad er sandsynligheden for at få 7 rigtige i Lotto?

Samme tal kan kun udtages 1 gang, dvs. det er UDEN tilbagelægning og rækkefølgen er ligegyldig, altså en UORDNET udtagelse. Derfor er det formlen for K(n,r) vi skal bruge.
Der er K(36,7) = 8347680 kombinationer med 7 tal ud af 36.
Chancen for en 7ér er altså 1 ud af ca. 8 millioner.

5.Hvad er sandsynligheden for at få 7 rigtige i Joker?

Hver tal kan udtrækkes flere gange, dvs. det er MED tilbagelægning og den rækkefølge tallene udtrækkes i betyder noget, altså er det en ORDNET udtagelse. Vi skal altså bruge formlen n^r.
For hver af de 7 positioner er der 10 muligheder, så der er 10⁷ permutationer.
Chancen for at gætte den rigtige permutation er altså 1 ud af 10 millioner.

n-fakultet (n!) er en kort skrivemåde for et produkt (et gangestykke).

Eksempel

• 3! udtales "3 fakultet"
• 6! udtales "6 fakultet"
• n! udtales "n fakultet"

og de skrives og betyder

• 3! = 3 * 2 * 1 = 6
• 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
• n! = n * . . . * 3 * 2 * 1

Definition

• 0! = 1